Ранг матрицы, обратная матрица и собственные значения: онлайн с решением

Одна матрица — три вопроса курса: сколько в ней независимых строк ($\mathrm{rang}A$), есть ли $A^{-1}$ и что за числа прячутся в $\det (\lambda E-A)=0$. Переключайте вкладки — арифметика точная до последней цифры дроби.

Ранг = 2: ровно столько строк (и столько же столбцов) несут независимую информацию.

1. Исходная матрица 4×3: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 3& 6& 9\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$
2. Преобразованиями «строка минус другая строка» приводим её к ступенчатому виду — ранг от них не меняется.
3. Строка 2 → строка 2 − 2·строка 1 → $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 3& 6& 9\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$
4. Строка 3 → строка 3 − 3·строка 1 → $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$
5. Строка 4 → строка 4 − строка 1 → $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& -2& -2\end{array}\right)$
6. Меняем местами строки 2 и 4: на ведущей позиции нужен ненулевой элемент, а целый даёт меньше дробей в ходе. → $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -2& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
7. Базисный минор второго порядка: строки 1, 4 × столбцы 1, 2; его определитель −2 ≠ 0.
8. А все миноры порядка 3 — нули: независимых строк больше 2 не нашлось бы, ступенчатый вид это исключает.
9. Наглядно: строка 2 = 2·строка 1 — лишняя строка целиком собирается из базисных.
10. Ненулевых строк в ступенчатом виде — 2, значит и ранг исходной матрицы 2.