Система линейных уравнений онлайн: Гаусс, Крамер, матричный способ

Коротко

Систему линейных уравнений решают тремя рабочими путями, и все три здесь под рукой. Метод Гаусса — универсальный: вычитаем из строк кратные им строки, пока матрица не станет ступенчатой, а правые части едут в дописанном столбце. Правило Крамера: делим определитель с подменённым столбцом на исходный — но только когда уравнений столько же, сколько неизвестных, и определитель ненулевой. Матричный способ: X = A⁻¹·B. Ранги по Кронекеру–Капелли калькулятор сверяет сам и прямо говорит, когда решений нет или их бесконечно много.

Напишите систему как в тетради — по уравнению в строке: $2 x + y - z = 8$ . Дроби и десятичные коэффициенты тоже понимает ( $\frac{y}{2}$ — это y/2). Дальше выбирайте метод: Гаусс покажет каждый ход, Крамер — все определители, матричный способ — $X = A^{- 1} B$ .

Уравнения системы

пример: x + 2y = 1; 3x + 4y = 2 — переменные можно писать и справа от «=», перенесём сами

Ответ: x = 2; y = 3; z = −1

Ответ точный: x = 2, y = 3, z = −1. Считали дробями — никаких 0,3333…

r(A) = 3, r(A|b) = 3, неизвестных 3 — теорема Кронекера–Капелли налицо

Расширенная матрица (справа от черты — правые части): $2 - 3 - 2 1 - 1 1 - 1 22 8 - 11 - 3$
Строка 2 → строка 2 + 3/2·строка 1 → $20 - 2 1 \frac{1}{2} 1 - 1 \frac{1}{2} 2 81 - 3$
Строка 3 → строка 3 + строка 1 → $200 1 \frac{1}{2} 2 - 1 \frac{1}{2} 1 815$
Меняем местами строки 2 и 3: на ведущей позиции нужен ненулевой элемент, а целый даёт меньше дробей в ходе. → $200 12 \frac{1}{2} - 1 1 \frac{1}{2} 851$
Строка 3 → строка 3 − 1/4·строка 2 → $200120 - 1 1 \frac{1}{4} 85 \frac{- 1}{4}$
Кронекер–Капелли: r(A) = r(A|b) = 3 — система совместна и решение единственное.
Обратный ход — снизу вверх: в каждой строке одна неизвестная осталась, решаем её на месте.
1/4·z = −1/4 ⇒ z = −1
2·y + z = 5; переносим найденное вправо (1·(−1)): 2·y = 6 ⇒ y = 3
2·x + y − z = 8; переносим найденное вправо (1·(3) − 1·(−1)): 2·x = 4 ⇒ x = 2
Проверка по 1-му уравнению: 2·(2) + 1·(3) − 1·(−1) = 8; правая часть 8 — сходится точь-в-точь.
Проверка по 2-му уравнению: −3·(2) − 1·(3) + 2·(−1) = −11; правая часть −11 — сходится точь-в-точь.
Проверка по 3-му уравнению: −2·(2) + 1·(3) + 2·(−1) = −3; правая часть −3 — сходится точь-в-точь.

Без JavaScript поля неизменяемы, но эталонная система разобрана: Δ = −1, x = 2, y = 3, z = −1 — полный ход Гаусса и проверка подстановкой выше.

Каждый ход на экране — не магия, а строка действия

Онлайн-решатели обычно показывают «до» и «после», а между ними тишина. Здесь разбор идёт по шагам: «строка 3 минус 2·строка 1», и под описанием — матрица в том виде, как она стала. Решение не надо угадывать головой: вы видите тот же черновик, который получился бы на консультации, и повторяете его ручкой без перевода.

Откуда берутся случаи без единственного ответа

Если одно уравнение системы — это второе, умноженное на два, независимых строк меньше, чем неизвестных, и свободные переменные превращают ответ в целое семейство. Обратная поломка: 2x + 2y = 4 и x + y = 5 — левые части близнецы, правые разные, совместить их невозможно. Оба сценария видны по рангам ещё до обратного хода; калькулятор описывает их человеческими словами, а не единицей в поле ответа.

На этой странице также отвечаем на вопросы: «решить систему линейных уравнений онлайн с подробным решением», «метод гаусса онлайн калькулятор», «правило крамера онлайн калькулятор», «матричный метод решения систем линейных уравнений онлайн», «метод гаусса пример решения 3 переменные», «система линейных уравнений бесконечно много решений», «крамер 3 уравнения 3 неизвестных пример».

Как считаем

x_{i} = \frac{Δ _{i}}{Δ}, Δ = det A \neq = 0

X = A^{- 1} B

rang A = rang (A ∣ B) = n \Rightarrow решение единственно

rang A < rang (A ∣ B) \Rightarrow решений нет

Ограничения и допущения

Не больше пяти уравнений и пяти переменных: на экзамене обычно встречаются системы от 2×2 до 4×4, а дальше разбор шагов становится нечитаемым.
Крамер и матричный способ требуют квадратную матрицу с ненулевым определителем; при Δ = 0 страница отправляет на вкладку Гаусса.
Переменные — одиночные буквы: для систем из x, y, z это естественная запись курса, а не ограничение алгоритма.

Полная методика, шаги и источники

Частые вопросы

как понять, что у системы нет решения

В ходе Гаусса появляется строка вида (0 0 0 | 5): ноль равен числу — противоречие. По рангам это видно ещё раньше: r(A) меньше, чем r(A|b). Чаще всего за таким сценарием стоит опечатка в правых частях, поэтому проверку начинайте именно с них.

что такое ФСР и зачем оно нужно

Фундаментальная система решений — набор векторов, из которых с любыми коэффициентами собирается любое решение однородной системы. При бесконечном множестве ответов полное решение записывают как частное решение γ плюс комбинация векторов ФСР. Калькулятор строит векторы по свободным переменным и тут же проверяет: A·γ даёт правые части, а каждый вектор ФСР даёт ноль.

какой метод выбрать на экзамене

Гаусс — универсал: едет всегда, и квадрат, и прямоугольник. Крамер хорош на 2×2 и 3×3 с целыми определителями, а на 4×4 это уже пять определителей — долго. Матричный способ уместен, когда A⁻¹ уже под рукой или понадобится в этой же задаче. Сравните ранги — и выбор обычно становится очевиден ещё до счёта.

почему в ответе дроби, а не десятичные

Потому что 1/3 в десятичной записи не умещается, а в тетради должна стоять дробью. Калькулятор ведёт всё на точных рациональных числах: если ответ 17/5, так и пишем. Десятичная копия показана рядом для прикидки — но не вместо дроби.

Ещё на сайте

Размеры одежды и обуви Перевод размеров США ↔ Европа ↔ Россия по длине стопы Тулы: проверка железа, печать и онлайн-инструменты Проверить мышь, камеру, монитор и геймпад, настроить гитару — или собрать макет на печать Работа с файлами PDF, фото и данные — файлы не покидают устройство Развлечения и эзотерика Лунный календарь, гадания, нумерология и помощники выбора